7965. Около шара радиуса 1 описан конус, высота которого вдвое больше диаметра шара. Найдите отношение полной поверхности конуса к поверхности шара.
Ответ. 2.
Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса с вершиной A
. Получим равнобедренный треугольник ABC
с вершиной A
, в который вписана окружность, центр O
которой совпадает с центром вписанного в конус шара. Пусть M
и K
— точки касания окружности со сторонами соответственно BC
и AB
, P
— точка пересечения окружности с высотой AM
. Ясно, что M
— центр основания конуса. Кроме того,
OK=OM=1,~AP=PM=2,~AO=AP+OP=2+1=3.
Обозначим \angle ABM=\angle AOK=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{OK}{AO}=\frac{1}{3},~\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sqrt{2},
BM=\frac{AM}{\tg\angle ABM}=\frac{4}{\tg\alpha}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2},
AB=\frac{BM}{\cos\angle ABM}=\frac{\sqrt{2}}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=3\sqrt{2}.
Пусть S
— полная поверхность конуса, l
— образующая конуса, r
— радиус основания, R
— радиус шара, s
— площадь поверхности шара. Тогда
S=\pi rl+\pi r^{2}=\pi r(l+r)=\pi\cdot BM\cdot(AB+BM)=\pi\cdot\sqrt{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=8\pi,
s=4\pi R^{2}=4\pi\cdot OM^{2}=4\pi.
Следовательно, \frac{S}{s}=\frac{8\pi}{4\pi}=2
.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. —