7966. В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).
Ответ. 0{,}28
.
Решение. Пусть ABC
— равносторонний треугольник ABC
, вписанный в круг с центром O
и радиусом R
, M
— точка пересечения диаметра BD
с хордой AC
. Тогда M
— середина AC
,
OM=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R,~BM=OB+OM=\frac{3}{2}R,
MA=OA\cos\angle OAM=R\cos30^{\circ}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.
Пусть V
— объём тела, образованного вращением данного круга вокруг диаметра BD
(т. е. объём шара радиуса R
), v
— объём тела образованного вращением треугольника ABC
вокруг прямой AB
(т. е. объём конуса с вершиной B
и радиусом основания, равным MA
). Тогда
V=\frac{4}{3}\pi R^{3},~v=\frac{1}{3}\pi\cdot MA^{2}\cdot BM=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\cdot\frac{3}{2}R=\frac{3}{8}\pi R^{3}.
Следовательно,
\frac{v}{V}=\frac{\frac{3}{8}\pi R^{3}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{9}{32}=0.28125.