7967. Металлический шар радиуса \sqrt[{3}]{{16}}
перелит в конус, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.
Ответ. 8.
Решение. Пусть R=\sqrt[{3}]{{16}}
— радиус шара, V
— его объём, r
— радиус основания конуса, l
— образующая, h
— высота конуса, S
— боковая поверхность конуса, s
— площадь его основания. По условию задачи
S=3s,~\mbox{или}~\pi rl=3\pi r^{2},
откуда находим, что
l=3r,~h^{2}=l^{2}-r^{2}=9r^{2}-r^{2}=8r^{2},~r^{2}=\frac{h^{2}}{8}.
По условию задачи объём конуса равен объёму шара. Поэтому
V=\frac{4}{3}\pi(\sqrt[{3}]{{16}})^{3}=\frac{4}{3}\cdot16\pi=\frac{64\pi}{3},
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{h^{2}}{8}\cdot h=\frac{\pi h^{3}}{24}.
Из уравнения \frac{64\pi}{3}=\frac{\pi h^{3}}{24}
находим, что h^{3}=64\cdot8
. Следовательно, h=4\cdot2=8
.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. —