7969. Проведены две параллельные плоскости по одну сторону от центра шара на расстоянии 3 друг от друга. Эти плоскости дают в сечении два малых круга, радиусы которых соответственно равны 9 и 12. Найдите объём шара.
Ответ. 4500\pi
.
Решение. Обозначим через R
радиус шара. Проведём сечение шара произвольной плоскостью, проходящей через диаметр шара, перпендикулярный данным секущим плоскостям. Получим равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD=2\cdot12=24
и BC=2\cdot9=18
и высотой, равной 3, вписанную в окружность радиуса R
.
Пусть CK
— высота трапеции. Тогда
DK=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(24-18)=3,
AK=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(24+18)=21,
AC=\sqrt{AK^{2}+CK^{2}}=\sqrt{441+9}=\sqrt{450}=15\sqrt{2}.
Треугольник CKD
— прямоугольный и равнобедренный. Поэтому \angle KDC=45^{\circ}
. Следовательно,
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{15\sqrt{2}}{2\sin45^{\circ}}=\frac{15\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=15.
Если V
— объём шара, то
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot15^{3}=4500\pi.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. —
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 9.5, с. 81