7971. В прямом параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основаниями ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известно, что AB=29
, AD=36
, BD=25
, AA_{1}=48
. Найдите площадь сечения AB_{1}C_{1}D
.
Ответ. 1872.
Решение. Опустим перпендикуляр BK
из вершины B
на прямую AD
. Так как параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
прямой, то B_{1}B
— перпендикуляр к плоскости основания ABCD
. Поэтому BK
— ортогональная проекция наклонной B_{1}K
на плоскость основания ABCD
. По теореме о трёх перпендикулярах B_{1}K\perp AD
. Значит, B_{1}K
— высота параллелограмма AB_{1}C_{1}D
.
Пусть S
— площадь треугольника ABD
, p
— полупериметр треугольника. Тогда
p=\frac{36+29+25}{2}=45,
S=\sqrt{45(45-36)(45-29)(45-25)}=\sqrt{45\cdot9\cdot16\cdot20}=9\cdot10\cdot4=360.
С другой стороны, S=\frac{1}{2}AD\cdot BK=18BK
. Поэтому BK=\frac{360}{18}=20
. Из прямоугольного треугольника B_{1}BK
находим, что
B_{1}K=\sqrt{B_{1}B^{2}+BK^{2}}=\sqrt{48^{2}+20^{2}}=\sqrt{2704}=52.
Следовательно,
S_{AB_{1}C_{1}D}=AD\cdot B_{1}K=36\cdot52=1872.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. —