7972. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде высота равна 2, а стороны оснований равны 3 и 5. Найдите диагональ усечённой пирамиды.
Ответ. 6.
Решение. Проведём сечение через противоположные боковые рёбра AA_{1}
и CC_{1}
усечённой пирамиды ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основаниями ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(AB=5
, A_{1}B_{1}=3
). Пусть O
и O_{1}
— центры оснований ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Секущая плоскость проходит через высоту OO_{1}
усечённой пирамиды. В сечении получим равнобедренную трапецию AA_{1}C_{1}C
с основаниями AC=5\sqrt{2}
и A_{1}C_{1}=3\sqrt{2}
. Пусть A_{1}K
— высота трапеции. Тогда
A_{1}K=OO_{1}=2,
AK=\frac{1}{2}(AC-A_{1}C_{1})=\frac{1}{2}(5\sqrt{2}-3\sqrt{2})=\sqrt{2},
CK=AC-AK=5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Из прямоугольного треугольника A_{1}KC
находим, что
A_{1}C=\sqrt{AK^{2}+CK^{2}}=\sqrt{4+32}=6.