7973. Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45^{\circ}
. Найдите объём тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.
Ответ. 36\pi
.
Решение. Пусть CC_{1}
и DD_{1}
— высоты равнобедренной трапеции ABCD
, опущенные из вершин C
и D
меньшего основания. Если V_{1}
— объём цилиндра, полученного вращением прямоугольника DCC_{1}D_{1}
вокруг прямой AB
, V_{2}
— объём конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника ADD_{1}
вокруг катета AD_{1}
, а V
— искомый объём, то
V=V_{1}+2V_{2}.
В равнобедренной трапеции ABCD
известно, что
D_{1}C_{1}=DC=2,~AD_{1}=\frac{1}{2}(AB-CD)=\frac{1}{2}(8-2)=3,
DD_{1}=AD_{1}=3.
Поэтому
V_{1}=\pi\cdot DD^{2}_{1}\cdot D_{1}C_{1}=\pi\cdot9\cdot2=18\pi,
V_{2}=\frac{1}{3}\pi\cdot DD^{2}_{1}\cdot AD_{1}=\frac{1}{3}\pi\cdot9\cdot3=9\pi.
Следовательно,
V=V_{1}+2\cdot V_{2}=18\pi+18\pi=36\pi.