7974. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан конус. Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверхности, если сторона основания пирамиды равна 4, а угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани равен 30^{\circ}
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть окружность основания конуса, вписанного в данную правильную четырёхугольную пирамиду PABCD
с вершиной P
, касается стороны AB
основания ABCD
в точке M
, O
— центр основания. Тогда M
— середина AB
, PM
— апофема пирамиды, MPO
— угол между высотой PO
пирамиды и плоскостью боковой грани APB
. По условию задачи \angle MPO=30^{\circ}
. Поэтому
PM=2OM=2\cdot\frac{1}{2}AD=2\cdot2=4.
Если r
— радиус основания конуса, l
— образующая, S_{1}
— площадь боковой поверхности конуса, а S_{2}
— площадь его полной поверхности, то
S_{1}=\pi rl=\pi\cdot OM\cdot PM=\pi\cdot2\cdot4=8\pi,
S_{2}=\pi r^{2}+\pi rl=\pi\cdot OM^{2}+\pi\cdot OM\cdot PM=4\pi+8\pi=12\pi.
Следовательно,
\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{12\pi}{8\pi}=\frac{3}{2}.