7976. Высота треугольной пирамиды ABCD
, опущенная из вершины D
, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC
. Кроме того, известно, что DB=3
, DC=2
, \angle BDC=90^{\circ}
. Найдите отношение площади грани ADB
, к площади грани ADC
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. По условию задачи DH
— высота пирамиды. Тогда BH
— ортогональная проекция наклонной DB
на плоскость основания ABC
пирамиды. Так как BH\perp AC
, то по теореме о трёх перпендикулярах DB\perp AC
. Таким образом, прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DC
и AC
плоскости грани ADC
. Поэтому прямая BD
перпендикулярна плоскости грани ADC
. Значит, BD\perp AD
, т. е. треугольник ADB
— прямоугольный. Аналогично, треугольник ADC
также прямоугольный, причём \angle ADC=90^{\circ}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AD\cdot BD}{\frac{1}{2}AD\cdot CD}=\frac{BD}{CD}=\frac{3}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. —