7977. В треугольной пирамиде ABCD
известно, что AB=8
, CD=12
, расстояние между прямыми AB
и CD
равно 6, а объём пирамиды равен 48. Найдите угол между прямыми AB
и CD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Достроим пирамиду ABCD
до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Тогда объём пирамиды составляет третью часть объёма параллелепипеда. В качестве плоскостей оснований параллелепипеда возьмём параллельные плоскости, проведённые через прямые AB
и CD
. Тогда высота параллелепипеда равна расстоянию между этими прямыми, площадь основания равна площади параллелограмма, диагонали которого равны отрезкам AB
и CD
, а угол \varphi
между диагоналями равен углу между этими прямыми.
Пусть V
— объём пирамиды, d
— расстояние между прямыми AB
и CD
. Тогда
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CD\sin\varphi\cdot d=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot12\sin\varphi\cdot6=96\sin\varphi=48,
откуда \sin\varphi=\frac{1}{2}
. Следовательно, \varphi=30^{\circ}
.