7980. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 и острым углом 15^{\circ}
. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{9}{2}
.
Решение. Пусть угол при вершине C
прямоугольного треугольника ABC
равен 90^{\circ}
, а угол при вершине A
равен 15^{\circ}
. Поскольку боковые рёбра DA
, DB
и DC
пирамиды ABCD
образуют равные углы с плоскостью основания, высота DO
пирамиды проходит через центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, т. е. через середину O
гипотенузы AB
. Тогда DAO
— угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды.
По условию задачи \angle DAO=45^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
DO=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot6=3.
Пусть CK
— высота прямоугольного треугольника ABC
. KOC
— внешний угол равнобедренного треугольника AOC
, поэтому
\angle KOC=2\angle OAC=2\cdot15^{\circ}=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника KOC
находим, что
CK=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot6=\frac{3}{2}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CK\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}.