7982. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Пусть M
— середина ребра D_{1}C_{1}
. Найдите периметр треугольника A_{1}DM
, а также расстояние от вершины D_{1}
до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
Ответ. a(\sqrt{5}+\sqrt{2})
; \frac{a}{\sqrt{6}}
.
Решение. Из прямоугольных треугольников A_{1}D_{1}M
, DD_{1}M
и DD_{1}A_{1}
по теореме Пифагора находим, что
A_{1}M=\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}M^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
DM=\sqrt{D_{1}D^{2}+D_{1}M^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
A_{1}D=\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}D^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}.
Следовательно, периметр треугольника A_{1}DM
равен
A_{1}M+DM+A_{1}D=\frac{a\sqrt{5}}{2}+\frac{a\sqrt{5}}{2}+a\sqrt{2}=a\sqrt{5}+a\sqrt{2}=a(\sqrt{5}+\sqrt{2}).
Теперь найдём расстояние от вершины D_{1}
до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
Первый способ. Пусть K
— середина основания A_{1}D
равнобедренного треугольника A_{1}MD
. Тогда MK
— высота треугольника A_{1}MD
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MKD
находим, что
MK=\sqrt{MD^{2}-KD^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Пусть V
— объём пирамиды A_{1}D_{1}MD
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}D_{1}M}\cdot DD_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}A_{1}D_{1}\cdot D_{1}M\cdot DD_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{a}{2}\cdot a=\frac{a^{3}}{12}.
С другой стороны,
V=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}MD}\cdot h,
где h
— искомое расстояние от вершины D_{1}
до плоскости, проходящей через вершины треугольника A_{1}MD
. Следовательно,
h=\frac{3V}{S_{\triangle A_{1}MD}}=\frac{\frac{a^{3}}{4}}{\frac{1}{2}A_{1}D\cdot MK}=\frac{\frac{a^{3}}{4}}{\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.
Второй способ. Примем за начало координат вершину D_{1}
, а оси координат направим по лучам D_{1}A_{1}
, D_{1}C_{1}
и D_{1}D
. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A_{1}
, D
и M
, имеет вид
\frac{x}{a}+\frac{y}{\frac{a}{2}}+\frac{z}{a}=1
(уравнение плоскости в отрезках), или x+2y+z-a=0
. Следовательно,
h=\frac{|0+0+0-a|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.