7983. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Пусть M
— такая точка на ребре A_{1}D_{1}
, для которой A_{1}M:MD_{1}=1:2
. Найдите периметр треугольника AB_{1}M
, а также расстояние от вершины A_{1}
до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
Ответ. \frac{a(2\sqrt{10}+3\sqrt{2})}{3}
; \frac{a}{\sqrt{11}}
.
Решение. Из прямоугольных треугольников AA_{1}M
, B_{1}A_{1}M
и AA_{1}B_{1}
по теореме Пифагора находим, что
AM=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{10}}{3},
B_{1}M=\sqrt{A_{1}B_{1}^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{10}}{3},
AB_{1}=\sqrt{A_{1}A^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}.
Следовательно, периметр треугольника AB_{1}M
равен
AM+B_{1}M+AB_{1}=\frac{a\sqrt{10}}{3}+\frac{a\sqrt{10}}{3}+a\sqrt{2}=
=\frac{2a\sqrt{10}}{3}+a\sqrt{2}=\frac{a(2\sqrt{10}+3\sqrt{2})}{3}
Теперь найдём расстояние от вершины A_{1}
до плоскости, проходящей через вершины треугольника AB_{1}M
.
Первый способ. Пусть K
— середина основания AB_{1}
равнобедренного треугольника MAB_{1}
. Тогда MK
— высота треугольника MAB_{1}
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MAK
находим, что
MK=\sqrt{AM^{2}-AK^{2}}=\sqrt{\frac{10a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}.
Пусть V
— объём пирамиды AA_{1}MB_{1}
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}MB_{1}}\cdot AA_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}A_{1}M\cdot A_{1}B_{1}\cdot AA_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{3}\cdot a\cdot a=\frac{a^{3}}{18}.
С другой стороны,
V=\frac{1}{3}S_{\triangle AB_{1}M}\cdot h,
где h
— искомое расстояние от вершины A_{1}
до плоскости, проходящей через вершины треугольника AB_{1}M
. Следовательно,
h=\frac{3\cdot V}{S_{\triangle AB_{1}M}}=\frac{\frac{a^{3}}{6}}{\frac{1}{2}AB_{1}\cdot MK}=\frac{\frac{a^{3}}{6}}{\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}}=\frac{a}{\sqrt{11}}.
Второй способ. Примем за начало координат вершину A_{1}
, а оси координат направим по лучам A_{1}D_{1}
, A_{1}B_{1}
и A_{1}A
. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A
, B_{1}
и M
, имеет вид
\frac{x}{\frac{a}{3}}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1
(уравнение плоскости в отрезках), или 3x+y+z-a=0
. Следовательно,
h=\frac{|0+0+0-a|}{\sqrt{9+1+1}}=\frac{a}{\sqrt{11}}.
Источник: Вступительный экзамен в МИЭМ. —