7985. В треугольной пирамиде боковые грани DBC
и DCA
взаимно перпендикулярны и представляют собой равные равнобедренные треугольники с основанием CD=2
и боковой стороной, равной \sqrt{19}
. Найдите ребро AB
, а также площади тех сечений пирамиды, которые являются квадратами.
Ответ. 6; \frac{9}{4}
.
Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD
с вершиной A
и основанием BCD
. Пусть AM
— высота равнобедренного треугольника ADC
. Тогда M
— середина CD
и
AM=\sqrt{AD^{2}-DM^{2}}=\sqrt{19-1}=3\sqrt{2}.
Поскольку плоскость грани ADC
перпендикулярна плоскости основания BCD
, прямая AM
перпендикулярна плоскости основания. Поэтому AM
— высота пирамиды ABCD
. Медиана BM
равнобедренного треугольника BCD
является его высотой. Прямая BM
есть ортогональная проекция наклонной AB
на плоскость основания пирамиды. Так как BM\perp CD
, то по теореме о трёх перпендикулярах AB\perp CD
.
Из прямоугольного треугольника BCM
находим, что
BM=\sqrt{BC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{19-1}=3\sqrt{2}.
Следовательно,
AB=\sqrt{AM^{2}+BM^{2}}=\sqrt{18+18}=6.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, пересекающей рёбра AC
, BC
, BD
и AD
в точках P
, Q
, R
и T
соответственно. Предположим, что PQ\parallel RT
. Тогда через параллельные прямые PQ
и RT
проходят две плоскости ABC
и ABD
, пересекающиеся по прямой AB
. Значит, прямые PQ
и RT
параллельны прямой AB
. Аналогично, если PT\parallel QR
, то прямые PT
и QR
параллельны прямой CD
. По доказанному ранее AB\perp CD
. Поэтому, если плоскость, пересекающая рёбра DB
, BC
, AC
и AD
, в сечении с данной пирамидой даёт параллелограмм, то этот параллелограмм — прямоугольник. Обозначим \frac{BK}{BD}=k
. Тогда
RQ=kCD=2k,~RT=(1-k)AB=6(1-k).
Из уравнения 2k=6(1-k)
находим, что k=\frac{3}{4}
. Значит, если указанное сечение является квадратом, то RQ=RT=\frac{3}{2}
. Площадь такого сечения равна \frac{9}{4}
.
Предположим теперь, что секущая плоскость пересекает рёбра DC
, DB
, AC
и AB
, причём в сечении получился параллелограмм. Аналогично предыдущему докажем, что одна пара противоположных сторон параллелограмма параллельна ребру AD
, а вторая — ребру BC
. Значит, если бы в сечении получился прямоугольник, то противоположные рёбра AD
и BC
данной пирамиды были бы перпендикулярны. Докажем, что это не так.
Предположим, что AD\perp BC
. Так как прямая CD
есть ортогональная проекция наклонной AD
на плоскость основания пирамиды, то по теореме о трёх перпендикулярах CD\perp BC
, что невозможно (\angle DCB\lt90^{\circ}
как угол при основании равнобедренного треугольника).
Аналогично, в сечении пирамиды ABCD
плоскостью, пересекающей рёбра CD
, BC
, AD
и AB
, также не может получиться квадрат.
Источник: Вступительный экзамен в МИЭМ. —