7989. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, площадь которого равна S
. Боковые рёбра пирамиды равны между собой. Двугранные углы при катетах её основания равны \alpha
и \beta
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{1}{6}S\sqrt{2S\tg\alpha\tg\beta}
.
Решение. Пусть основанием треугольной пирамиды ABCD
является прямоугольный треугольник ABC
с катетами BC=a
и AC=b
, а двугранные углы при рёбрах AC
и BC
равны \alpha
и \beta
соответственно. Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота DO
проходит через центр O
окружности, описанной около основания ABC
. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, есть середина гипотенузы. Поэтому точка O
— середина отрезка AB
.
Пусть M
и K
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на BC
и AC
соответственно. Тогда OM
и OK
— средние линии треугольника ABC
. Поэтому
OM=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2},~OK=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.
По теореме о трёх перпендикулярах DM\perp BC
и DK\perp AC
, поэтому OMD
и OKD
— линейные углы двугранных углов при рёбрах BC
и AC
. По условию задачи \angle OMD=\beta
и \angle OKD=\alpha
. Из прямоугольных треугольников OMD
и OKD
находим, что
OD=OM\tg\beta,~OD=OK\tg\alpha.
Перемножив почленно эти равенства, получим:
OD^{2}=OM\cdot OK\tg\alpha\tg\beta=\frac{1}{4}ab\tg\alpha\tg\beta=\frac{1}{2}S\tg\alpha\tg\beta,
откуда
OD=\sqrt{\frac{1}{2}S\tg\alpha\tg\beta}=\frac{1}{2}\sqrt{2S\tg\alpha\tg\beta}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot OD=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S\cdot\sqrt{2S\tg\alpha\tg\beta}=\frac{1}{6}S\sqrt{2S\tg\alpha\tg\beta}.