7990. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1:3
, считая от вершины пирамиды. Найдите объём пирамиды, если апофема пирамиды равна a
.
Ответ. \frac{48a^{3}}{125}
.
Решение. Пусть 2b
— сторона основания данной пирамиды с вершиной P
(рис. 1), V
— объём пирамиды. Поскольку пирамида правильная, центр вписанной в неё сферы лежит на высоте, причём сфера касается боковых граней пирамиды в точках, лежащих на апофемах, а основания — в его центре M
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PA
и PB
, лежащие в двух противолежащих боковых гранях (рис. 2). Получим равнобедренный треугольник APB
со сторонами PA=PB=a
, AB=2b
и вписанную в него окружность с центром O
, лежащим на высоте PM
. Если окружность пересекает высоту PM
в точке K
, отличной от M
, то по условию задачи \frac{PK}{MK}=\frac{1}{3}
. Обозначим PK=x
. Тогда
MK=3x,~OM=\frac{1}{2}MK=\frac{3x}{2},~OP=OK+PK=\frac{3x}{2}+x=\frac{5x}{2}.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому BO
— биссектриса треугольника PBM
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{b}{a}=\frac{BM}{BP}=\frac{OM}{OP}=\frac{\frac{3x}{2}}{\frac{5x}{2}}=\frac{3}{5},
откуда находим, что b=\frac{3a}{5}
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PBM
находим, что
PM=\sqrt{PB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{9a^{2}}{25}}=\frac{4a}{5}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}AB^{2}\cdot PM=\frac{1}{3}\cdot(2b)^{2}\cdot\frac{4a}{5}=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\frac{9}{25}a^{2}\cdot\frac{4a}{5}=\frac{48a^{3}}{125}.