7998. Пусть a
и a_{1}
, b
и b_{1}
, c
и c_{1}
— пары противоположных рёбер тетраэдра; \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно — углы между ними (\alpha\leqslant90^{\circ}
, \beta\leqslant90^{\circ}
и \gamma\leqslant90^{\circ}
). Докажите, что из трёх величин aa_{1}\cos\alpha
, bb_{1}\cos\beta
и cc_{1}\cos\gamma
одна равна сумме двух других.
Решение. Пусть ABCD
— тетраэдр, в котором
AB=a,~CD=a_{1},~BC=b,~AD=b_{1},~AC=c,~BD=c_{1},
угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
, между прямыми BC
и AD
— \beta
, между прямыми AC
и BD
— \gamma
.
Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Обозначим AK=x
, BK=y
, BM=z
. Предположим, что x\geqslant y\geqslant z
. Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма AKBL
. Тогда \angle KOB=\alpha
. По теореме косинусов
y^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{a_{1}^{2}}{4}-2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a_{1}}{2}\cos\alpha,~x^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{a_{1}^{2}}{4}+2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a_{1}}{2}\cos\alpha.
поэтому x^{2}-y^{2}=aa_{1}\cos\alpha
. Аналогично, x^{2}-z^{2}=bb_{1}\cos\beta
и y^{2}-z^{2}=cc_{1}\cos\gamma
. Следовательно,
cc_{1}\cos\gamma+aa_{1}\cos\alpha=(y^{2}-z^{2})+(x^{2}-y^{2})=x^{2}-z^{2}=bb_{1}\cos\beta.