7999. Докажите, что произведение длин двух противоположных рёбер тетраэдра, делённое на произведение синусов двугранных углов тетраэдра, соответствующих этим рёбрам, для данного тетраэдра постоянно (теорема синусов для тетраэдра).
Решение. Пусть a
и b
— противоположные рёбра тетраэдра, \alpha
и \beta
— двугранные углы с рёбрами a
и b
соответственно, S_{1}
и S_{2}
— площади граней с общим ребром a
, V
— объём тетраэдра. Тогда V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{1}S_{2}\sin\alpha}{a}
.
Если S_{3}
и S_{4}
— площади двух остальных граней тетраэдра, то V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{3}S_{4}\sin\beta}{b}
. Перемножив почленно два этих равенства, получим, что
V^{2}=\frac{4}{9}\cdot\frac{S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}\sin\alpha\sin\beta}{ab}.
Аналогично, если c
и d
— два других противоположных ребра тетраэдра, а \gamma
и \delta
— соответствующие им двугранные углы, то
V^{2}=\frac{4}{9}\cdot\frac{S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}\sin\gamma\sin\delta}{cd}.
Следовательно,
\frac{4}{9}\cdot\frac{S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}\sin\alpha\sin\beta}{ab}=\frac{4}{9}\cdot\frac{S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}\sin\gamma\sin\delta}{cd},
откуда
\frac{ab}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{cd}{\sin\gamma\sin\delta}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.6, с. 100
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.9, с. 109
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 317, с. 42