8001. Признак скрещивающихся прямых. Прямая a
лежит в плоскости \alpha
, а прямая b
пересекает эту плоскость в точке A
, не лежащей на прямой a
. Докажите, что a
и b
— скрещивающиеся прямые.
Указание. Если прямые a
и b
не являются скрещивающимися, то через прямую a
и не лежащую на ней точку A
проходят две различные плоскости.
Решение. Предположим, что прямые a
и b
не являются скрещивающимися. Тогда через них можно провести некоторую плоскость \beta
. Плоскости \alpha
и \beta
различны, так как на прямой b
, лежащей в плоскости \beta
, есть точки, не принадлежащие плоскости \alpha
. Таким образом, через прямую a
и не лежащую на ней точку A
проходят две различные плоскости, что невозможно.