8002. Признак параллельности прямой и плоскости. Прямая a
, не лежащая в плоскости \alpha
, параллельна некоторой прямой этой плоскости. Докажите, что прямая a
параллельна плоскости \alpha
.
Указание. Предположите противное и воспользуйтесь либо признаком скрещивающихся прямых, либо утверждением о том, что, если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая, проходящая через эту точку.
Решение. Первый способ. Пусть данная прямая a
параллельна прямой b
, лежащей в плоскости \alpha
. Предположим, что прямая a
и плоскость \alpha
имеют общую точку A
. Эта точка не может лежать на прямой b
, так как прямые a
и b
не имеют общих точек. Значит, прямая a
пересекает плоскость в точке A
, не лежащей на прямой b
, поэтому a
и b
— скрещивающиеся прямые (признак скрещивающихся прямых), что противоречит условию. Следовательно, прямая параллельна плоскости \alpha
.
Второй способ. Пусть данная прямая a
параллельна прямой b
, лежащей в плоскости \alpha
. Предположим, что прямая a
и плоскость \alpha
имеют общую точку A
. Через прямые a
и b
проведём плоскость \beta
. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой b
, значит, все общие точки плоскостей \alpha
и \beta
лежат на прямой b
, а так как точка A
лежит и на прямой a
, и в плоскости \alpha
, то A
— одна из общих точек плоскостей \alpha
и \beta
. Поэтому точка A
лежит на прямой b
, что противоречит условию (a\parallel b)
.