8004. Теорема о прямой пересечения плоскостей, проходящих через две параллельные прямые. Прямые a
и b
параллельны. Плоскость, проходящая через прямую a
, и плоскость, проходящая через прямую b
, пересекаются по прямой c
. Докажите, что прямая c
параллельна каждой из прямых a
и b
.
Указание. Прямая a
параллельна плоскости, проходящей через прямые b
и c
.
Решение. Обозначим указанные плоскости через \alpha
и \beta
соответственно. Прямая a
параллельна прямой b
, лежащей в плоскости \beta
, поэтому прямая a
параллельна плоскости \beta
(признак параллельности прямой и плоскости). Через прямую a
, параллельную плоскости \beta
, проходит плоскость \alpha
, пересекающая плоскость \beta
по прямой c
. Следовательно, прямая c
параллельна прямой a
(необходимое условие параллельности прямой и плоскости). Аналогично, прямая c
параллельна прямой b
.