8005. Докажите, что через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
Указание. Существование такой плоскости следует из определения параллельных прямых. Для доказательства единственности предположите противное.
Решение. Пусть a
и b
— параллельные прямые. По определению параллельных прямых через них можно провести плоскость. Обозначим её через \alpha
. Предположим, что есть ещё одна плоскость \beta
, отличная от \alpha
и проходящая через прямые a
и b
.
Возьмём на прямой a
две точки A
и B
, а на прямой b
— точку C
. Точки A
, B
и C
не лежат на одной прямой, так как в противном случае через две различные точки A
и B
проходила бы прямая a
и отличная от неё прямая AC
(содержащая точку C
, не лежащую на прямой a
).
Таким образом, через три точки A
, B
и C
, не лежащие на одной прямой (или через две пересекающиеся прямые AC
и BC
) проходят две различные плоскости \alpha
и \beta
, что невозможно. Следовательно, через параллельные прямые a
и b
проходит единственная плоскость.