8006. Докажите, что в пространстве через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Указание. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. В каждой плоскости через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
Решение. Пусть точка M
не лежит на прямой a
. Тогда через прямую a
и точку M
можно провести плоскость. Обозначим её через \alpha
. В плоскости \alpha
проведём прямую b
, параллельную прямой a
. Тогда прямые a
и b
лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки, следовательно, они параллельны (определение параллельных прямых).
Предположим, теперь, что через точку M
проходит ещё одна прямая b_{1}
, параллельная a
. Тогда прямая b_{1}
должна лежать в плоскости \alpha
, так как через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость, а так как в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной, то прямая b_{1}
совпадёт с прямой b
.