8007. Докажите, что две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны.
Указание. Пусть a\parallel c
, b\parallel c
и прямые a
, b
и c
не лежат в одной плоскости. Рассмотрите прямую пересечения плоскостей, одна из которых проведена через прямую a
и некоторую точку M
прямой b
, а вторая — через прямую c
и точку M
.
Решение. Пусть различные прямые a
и b
параллельны прямой c
. Если все три прямые лежат в одной плоскости, то утверждение верно, так как в каждой плоскости выполняются все теоремы планиметрии.
Если же прямые a
, b
и c
не лежат в одной плоскости, то плоскость \alpha
, проведённая через прямую a
и некоторую точку M
прямой b
, и плоскость \beta
, проведённая через прямую c
и точку M
, пересекаются по прямой b_{1}
, параллельной прямым a
и c
(теорема о пересекающихся плоскостях, проведённых через две параллельные прямые).
Поскольку b\parallel c
(по условию) и b_{1}\parallel c
(по доказанному), через точку M
проходят две прямые, параллельные одной и той же прямой c
, поэтому прямые b
и b_{1}
совпадают, а так как a\parallel b_{1}
, то a\parallel b
.
Примечание. Если считать параллельными совпадающие прямые, то верно следующее утверждение. Если a\parallel c
и c\parallel b
, то a\parallel b
(транзитивность параллельности прямых).