8008. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Решение. Пусть прямые a
и b
плоскости \alpha
пересекаются в точке P
, а прямые a_{1}
и b_{1}
плоскости \alpha_{1}
— в точке P_{1}
, причём a\parallel a_{1}
и b\parallel b_{1}
. Предположим, что плоскости \alpha
и \alpha_{1}
пересекаются по некоторой прямой c
. Тогда плоскости, проходящие через две параллельные прямые a
и a_{1}
, пересекаются по прямой c
, значит, прямая c
параллельна каждой из этих прямых, в частности, — прямой a
. Аналогично, прямая c
параллельна прямой b
. Таким образом, в плоскости \alpha
через точку P
проходят две различные прямые, параллельные прямой c
, что невозможно.