8011. Докажите, что через точку, не лежащую на плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.
Решение. Через произвольную точку данной плоскости \alpha
проведём в этой плоскости две пересекающиеся прямые a
и b
(рис. 1). Через данную точку M
, лежащую вне плоскости \alpha
, проведём прямые a_{1}
и b_{1}
, соответственно параллельные прямым a
и b
. Через пересекающиеся прямые a_{1}
и b_{1}
проведём плоскость \beta
. По признаку параллельности плоскостей плоскости \alpha
и \beta
параллельны. Существование плоскости доказано.
Докажем теперь, что такая плоскость единственна. Предположим, что через точку M
, не лежащую в плоскости \alpha
, можно провести по крайней мере две плоскости \beta
и \beta_{1}
, параллельные плоскости \alpha
(рис. 2). Пусть c
— прямая пересечения плоскостей \beta
и \beta_{1}
. Возьмём на плоскости \alpha
прямую d
, непараллельную прямой c
. Через точку M
и прямую d
проведём плоскость \gamma
. Эта плоскость пересекает плоскости \beta
и \beta_{1}
по прямым, параллельным прямой d
. Таким образом, через точку M
плоскости \gamma
проходят две прямые, параллельные прямой d
плоскости \gamma
, что невозможно.