8018. Дано несколько прямых в пространстве, каждые две из которых пересекаются. Докажите, что либо все эти прямые лежат в одной плоскости, либо все проходят через одну точку.
Указание. Проведите плоскость через любые две из данных прямых и докажите, что остальные либо лежат в этой плоскости, либо пересекают её в общей точке первых двух прямых.
Решение. Пусть a
и b
— две из данных прямых. Проведём через них плоскость \alpha
. Это можно сделать, так как эти прямые пересекаются. Пусть c
— ещё одна из данных прямых. Если c
лежит в плоскости \alpha
, то всё доказано. Если c
не лежит в плоскости \alpha
, то c
либо параллельна этой плоскости (тогда она не пересекает прямые a
и b
, что противоречит условию), либо пересекает плоскость \alpha
в единственной точке M
. Значит, точка M
лежит на каждой из прямых a
и b
. Следовательно, все данные прямые проходят через точку M
.