8020. Точки M
, N
и K
принадлежат соответственно рёбрам AD
, AB
и BC
тетраэдра ABCD
, причём AM:MD=2:3
, BN:AN=1:2
, BK=KC
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M
, N
, K
. В каком отношении эта плоскость делит ребро CD
?
Ответ. 3:1
.
Указание. Через вершину A
проведите прямую, параллельную BD
; продолжите MN
до пересечения с этой прямой в точке Q
и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники.
Решение. Пусть продолжение отрезка MN
пересекает прямую DB
в точке F
. Тогда точки F
и K
лежат в плоскости грани BCD
, поэтому прямая FK
лежит в плоскости грани BCD
. Если P
— точка пересечения этой прямой с ребром CD
, то четырёхугольник MNKP
— искомое сечение.
Обозначим BD=a
, BF=x
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BD
, и продолжим MN
до пересечения с этой прямой в точке Q
. Треугольник ANQ
подобен треугольнику BNF
с коэффициентом 2, а треугольник AMQ
— треугольнику DMF
с коэффициентом \frac{AM}{MD}=\frac{2}{3}
. Поэтому
AQ=2BF=2x,~AQ=\frac{2}{3}DF=\frac{2}{3}(a+x).
Из уравнения 2x=\frac{2}{3}(a+x)
находим, что BF=\frac{a}{2}
.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную BD
, и продолжим KP
до пересечения с этой прямой в точке T
. Треугольник CKT
равен треугольнику BKF
, а треугольник CPT
подобен треугольнику DPF
, поэтому
CT=BF=\frac{a}{2},~\frac{CP}{PD}=\frac{CT}{DF}=\frac{\frac{a}{2}}{a+\frac{a}{2}}=\frac{1}{3}.