8035. Точка M
принадлежит ребру CD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, причём CM:MD=1:2
. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M
параллельно прямым DB
и AC_{1}
. В каком отношении эта плоскость делит диагональ A_{1}C
параллелепипеда?
Ответ. 1:11
.
Указание. Через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, проведена плоскость ABCD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку M
. Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD
по прямой, проходящей через точку M
параллельно BD
.
Решение. Через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, проведена плоскость ABCD
, имеющая с секущей плоскостью общую точку M
. Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD
по прямой, проходящей через точку M
параллельно BD
.
Пусть K
— точка пересечения этой прямой с диагональю AC
параллелограмма ABCD
, L
— центр параллелограмма. Тогда
\frac{CK}{CL}=\frac{CM}{CD}=\frac{1}{3},~\frac{CK}{AC}=\frac{1}{6}.
Через прямую AC_{1}
, параллельную секущей плоскости, проведена плоскость AA_{1}C_{1}C
, имеющая с секущей плоскостью общую точку K
. Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью AA_{1}C_{1}C
по прямой, проходящей через точку K
параллельно AC_{1}
. Пусть P
— точка пересечения этой прямой с диагональю A_{1}C
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а O
— центр параллелепипеда. Тогда
\frac{CP}{CO}=\frac{CK}{AC}=\frac{1}{6},~\frac{CP}{CA}_{1}=\frac{1}{12}.
Следовательно, \frac{CP}{PA_{1}}=\frac{1}{11}
.