8042. В треугольной пирамиде DABC
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин D
, A
и B
равны 180^{\circ}
, DC=15
, \angle ACB=60^{\circ}
. Найдите радиус описанного шара, если радиус вписанного шара равен 3.
Ответ. 2\sqrt{21}
.
Указание. Сделав развёртку тетраэдра, докажите, что его грани — равные треугольники. Тогда центры вписанного и описанного шара совпадают.
Решение. Рассмотрим развёртку C_{1}BC_{3}AC_{2}DC_{1}
тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABD
(рис. 1), причём точки C_{1}
, C_{2}
и C_{3}
— вершины треугольников с основаниями BD
, AD
и AB
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
и D
тетраэдра ABCD
равны по 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке C_{2}C_{3}
, точка B
— на отрезке C_{1}C_{3}
, а точка D
— на отрезке C_{1}C_{2}
, причём A
, B
и D
— середины этих отрезков. Поэтому AB
, BD
и AD
— средние линии треугольника C_{1}C_{2}C_{3}
. Значит, противоположные рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Поэтому грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонам), т. е. тетраэдр — равногранный. Докажем, что центр описанного шара такого тетраэдра совпадает с центром вписанного шара.
Пусть O
— центр шара радиуса R
, описанного около данного тетраэдра (рис. 2). Перпендикуляры, опущенные из точки O
на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней, а так как тетраэдр — равногранный, то все его грани — равные остроугольные треугольники. Поэтому радиусы их описанных окружностей равны, а центры этих окружностей расположены внутри граней.
Обозначим их через R_{1}
. Тогда расстояния от точки O
до плоскостей граней равны \sqrt{R^{2}-R_{1}}=r
. Значит, точка O
удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r
. Следовательно, O
— центр вписанной сферы, а r
— радиус этой сферы.
Поскольку AB=CD=15
, а \angle ACB=60^{\circ}
, то
R_{1}=\frac{AB}{2\sin60^{\circ}}=\frac{15}{\sqrt{3}}=5\sqrt{3},
а так как r=3
, то
R=\sqrt{R_{1}+r^{2}}=\sqrt{75+9}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}.