8043. Суммы плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
тетраэдра DABC
равны 180^{\circ}
. Найдите расстояние между прямыми DA
и BC
, если BC=4
, AC=5
, AB=6
.
Ответ. 3\sqrt{\frac{5}{2}}
.
Указание. Сделав развёртку тетраэдра, докажите, что его грани — равные треугольники. Тогда расстояние между противоположными рёбрами тетраэдра равно ребру прямоугольного параллелепипеда, образованного тремя парами параллельных плоскостей, проведённых через противоположные рёбра тетраэдра.
Решение. Рассмотрим развёртку D_{1}BD_{3}AD_{2}CD_{1}
тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABC
(рис. 2), причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями BC
, AC
и AB
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
тетраэдра ABCD
равны по 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке D_{2}D_{3}
, точка B
— на отрезке D_{1}D_{3}
, а точка C
— на отрезке D_{1}D_{2}
, причём A
, B
и C
— середины этих отрезков, Поэтому AB
, BC
и AC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, противоположные рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Поэтому грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонам).
Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей (рис. 3). Поскольку противолежащие рёбра тетраэдра попарно равны, получим прямоугольный параллелепипед. Расстояние между его противоположными рёбрами равно боковому ребру. Пусть a
, b
и c
— измерения параллелепипеда. Тогда
a^{2}+c^{2}=AC^{2}=25,~b^{2}+c^{2}=CD^{2}=36,~a^{2}+b^{2}=AD^{2}=16.
Сложим почленно два первых равенства и от результата отнимем третье. Получим, что
c^{2}=\frac{25+36-16}{2}=\frac{45}{2},
а так как c
— боковое ребро, равное общему перпендикуляру прямых AD
и BC
, то искомое расстояние равно 3\sqrt{\frac{5}{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1974, вариант 2, № 5
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 240