8044. В треугольной пирамиде PABC
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
и B
равны по 180^{\circ}
и PC=AB
. Внутри пирамиды взята некоторая точка D
, сумма расстояний от которой до трёх боковых граней PAB
, PAC
и PBC
равна 7. Найдите расстояние от центра описанного шара до грани PAB
, если объёмы пирамид PABC
и DABC
относятся как 8:1
.
Ответ. 2.
Указание. Сделав развёртку тетраэдра, докажите, что его грани — равные треугольники. Тогда центры вписанного и описанного шара совпадают.
Решение. Рассмотрим развёртку P_{1}AP_{2}CP_{3}BP_{1}
тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABC
(рис. 1), причём точки P_{1}
, P_{2}
и P_{3}
— вершины треугольников с основаниями AB
, AC
и BC
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
и B
тетраэдра PABC
равны 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке P_{1}P_{2}
, а точка B
— на отрезке P_{1}P_{3}
, причём A
и B
— середины этих отрезков. Поэтому AB
— средняя линия треугольника P_{1}P_{2}P_{3}
. Значит, P_{2}P_{3}=2AB
, а так как PC=AB
, то CP_{2}=CP_{3}=AB
, поэтому CP_{2}+CP_{3}=P_{2}P_{3}
. Это означает, что точка C
лежит на отрезке P_{2}P_{3}
, причём C
— середина этого отрезка (рис. 2). Таким образом, AC
, AB
и BC
— средние линии треугольника P_{1}P_{2}P_{3}
. Следовательно,
BC=AP_{1}=AP,~AC=BP_{1}=BP,
т. е. противолежащие рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Значит, все грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонам). Докажем, что центр вписанного шара этого тетраэдра совпадает с центром вписанного шара.
Пусть O
— центр шара радиуса R
, описанного около данного тетраэдра (рис. 3). Перпендикуляры, опущенные из точки O
на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней, а так как тетраэдр — равногранный, то все его грани — равные остроугольные треугольники. Поэтому радиусы их описанных окружностей равны, а центры этих окружностей расположены внутри граней.
Обозначим их через R_{1}
. Тогда расстояния от точки O
до плоскостей граней равны \sqrt{R^{2}-R_{1}}=r
. Значит, точка O
удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r
. Следовательно, O
— центр вписанной сферы, а r
— радиус этой сферы.
Пусть S
— площадь каждой из четырёх граней тетраэдра PABC
, H
— длина высоты тетраэдра, проведённой из вершины P
, а x
, y
, z
и t
— длины высот пирамид DABP
, DACP
, DBCP
и DABC
, проведённых из их общей вершины D
(рис. 4). Из условия задачи следует, что H=8t
, а так как
V_{DABP}+V_{DACP}+V_{DBCP}+V_{DABC}=V_{PABC},
то
\frac{1}{3}S\cdot x+\frac{1}{3}S\cdot y+\frac{1}{3}S\cdot y+\frac{1}{3}S\cdot z=
=\frac{1}{3}S\cdot(x+y+z+t)=\frac{1}{3}S\cdot(7+t)=\frac{1}{3}S\cdot H
откуда
7+t=H=8t,~t=1,~H=8.
Значит,
V_{PABC}=\frac{1}{3}S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot8S.
а так как V_{PABC}=\frac{1}{3}\cdot4S\cdot r
, то
r=\frac{3V_{PABC}}{4S}=\frac{8S}{4S}=2.