8046. В треугольной пирамиде ABCD
грани ABC
и ABD
имеют площади p
и q
и образуют между собой угол \alpha
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB
и центр вписанного в пирамиду шара.
Ответ. \frac{2pq\cos\frac{\alpha}{2}}{p+q}
.
Указание. Пусть ABK
— искомое сечение. Тогда ABK
— биссекторная плоскость двугранного угла, образованного гранями ABC
и ABD
; V_{ABCD}=V_{CABK}+V_{DABK}
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение: если V
— объём тетраэдра ABCD
, p
и q
— площади граней ABC
и ABD
, \alpha
— угол между этими гранями, то V=\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\varphi}{AB}
.
Если DH
— высота тетраэдра, опущенная на основание ABC
, а HM
— перпендикуляр, опущенный из точки H
на AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах DH\perp AB
, значит, DMH
— линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB
. Поэтому \angle DMH=\alpha
. Тогда
V=V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}p\cdot DM\sin\alpha=\frac{1}{3}p\cdot\frac{2q}{a}\cdot\sin\alpha=\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\alpha}{AB}.
Что и требовалось доказать.
Обозначим через S
площадь сечения ABK
. Тогда из доказанного утверждения следует, что
V_{ABCD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\alpha}{AB}.
С другой стороны, поскольку секущая плоскость проходит через центр O
шара, вписанного в двугранный угол между гранями ABC
и ABD
, центр шара лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому
V_{ABCD}=V_{CABK}+V_{DABK}=\frac{2}{3}\cdot\frac{pS\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}+\frac{2}{3}\cdot\frac{qS\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{(p+q)S\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}
Из уравнения
\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\alpha}{AB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{(p+q)S\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}
находим, что
S=\frac{pq\sin\alpha}{(p+q)\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{2pq\cos\frac{\alpha}{2}}{p+q}.