8046. В треугольной пирамиде
ABCD
грани
ABC
и
ABD
имеют площади
p
и
q
и образуют между собой угол
\alpha
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро
AB
и центр вписанного в пирамиду шара.
Ответ.
\frac{2pq\cos\frac{\alpha}{2}}{p+q}
.
Указание. Пусть
ABK
— искомое сечение. Тогда
ABK
— биссекторная плоскость двугранного угла, образованного гранями
ABC
и
ABD
;
V_{ABCD}=V_{CABK}+V_{DABK}
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение: если
V
— объём тетраэдра
ABCD
,
p
и
q
— площади граней
ABC
и
ABD
,
\alpha
— угол между этими гранями, то
V=\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\varphi}{AB}
.
Если
DH
— высота тетраэдра, опущенная на основание
ABC
, а
HM
— перпендикуляр, опущенный из точки
H
на
AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах
DH\perp AB
, значит,
DMH
— линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре
AB
. Поэтому
\angle DMH=\alpha
. Тогда
V=V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}p\cdot DM\sin\alpha=\frac{1}{3}p\cdot\frac{2q}{a}\cdot\sin\alpha=\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\alpha}{AB}.

Что и требовалось доказать.
Обозначим через
S
площадь сечения
ABK
. Тогда из доказанного утверждения следует, что
V_{ABCD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\alpha}{AB}.

С другой стороны, поскольку секущая плоскость проходит через центр
O
шара, вписанного в двугранный угол между гранями
ABC
и
ABD
, центр шара лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому
V_{ABCD}=V_{CABK}+V_{DABK}=\frac{2}{3}\cdot\frac{pS\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}+\frac{2}{3}\cdot\frac{qS\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{(p+q)S\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}

Из уравнения
\frac{2}{3}\cdot\frac{pq\sin\alpha}{AB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{(p+q)S\sin\frac{\alpha}{2}}{AB}

находим, что
S=\frac{pq\sin\alpha}{(p+q)\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{2pq\cos\frac{\alpha}{2}}{p+q}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1973, вариант 1, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 268
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 3.33, с. 49
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 3.26, с. 37
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 89, с. 14