8048. Точки K
и M
— середины рёбер AB
и AC
треугольной пирамиды ABCD
с площадью основания p
. Найдите площадь грани BCD
, если сечение DKM
имеет площадь q
, а основание высоты пирамиды попадает в точку пересечения медиан основания ABC
.
Ответ. \sqrt{4q^{2}+\frac{p^{2}}{12}}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
(рис. 1, рис. 2); DP
, DN
и AQ
— высоты треугольников DKM
, DBC
и ABC
соответственно. Тогда
DP=\frac{2S_{\triangle DKM}}{KM}=\frac{2q}{KM}=\frac{4q}{BC},~AQ=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2p}{BC}.
По теореме о трёх перпендикулярах OP\perp KM
и ON\perp BC
, поэтому
OP=\frac{1}{6}AQ=\frac{1}{6}\cdot\frac{2p}{BC}=\frac{p}{3BC},~ON=\frac{1}{3}AQ=\frac{2p}{3BC}.
DO^{2}=DP^{2}-OP^{2}=\frac{16q^{2}}{BC^{2}}-\frac{p^{2}}{9BC^{2}}=\frac{144q^{2}-p^{2}}{9BC^{2}},
DN^{2}=DO^{2}+ON^{2}=\frac{144q^{2}-p^{2}}{9BC^{2}}+\frac{4p^{2}}{9BC^{2}}=\frac{144q^{2}+3p^{2}}{9BC^{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DN=\frac{1}{2}BC\cdot\frac{\sqrt{144q^{2}+3p^{2}}}{3BC}=\frac{\sqrt{4q^{2}+p^{2}}}{6}.