8057. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна a
. Вершины M
и N
правильного тетраэдра MNPQ
лежат на прямой, проходящей через точки C_{1}
и B
, а вершины P
и Q
— на прямой A_{1}C
. Найдите:
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков MN
и PQ
.
Ответ. а) \frac{a^{3}\sqrt{6}}{8}
; б) \frac{a}{\sqrt{6}}
.
Указание. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, является общим перпендикуляром прямых, содержащих эти рёбра.