8058. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
рёбра AB
, BC
и BB_{1}
равны соответственно 2a
, a
и a
, а точка E
— середина BC
. Вершины M
и N
правильного тетраэдра MNPQ
лежат на прямой C_{1}E
, а вершины P
и Q
— на прямой, проходящей через точку B_{1}
и пересекающей прямую AD
в точке F
. Найдите:
а) отрезок DF
;
б) расстояние между серединами отрезков MN
и PQ
.
Ответ. а) a
; б) \frac{4a\sqrt{5}}{15}
.
Указание. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, является общим перпендикуляром прямых, содержащих эти рёбра.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1977, вариант 4, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 77-4-6, с. 193
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 97, с. 15