8059. Угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120^{\circ}
. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. 2\arcsin\frac{1}{3}=\arccos\frac{7}{9}
.
Указание. Развёртка боковой поверхности конуса есть сектор окружности, радиус которой равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса.
Решение. Пусть \alpha
— угол в осевом сечении конуса, l
— образующая конуса, r
— радиус основания конуса. Развёртка боковой поверхности конуса есть сектор окружности радиуса l
(рис. 1). По условию задачи угол между радиусами этого сектора равен 120^{\circ}
, поэтому длина дуги сектора составляет третью часть длины окружности радиуса l
, т. е. \frac{2\pi l}{3}
. С другой стороны, длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т. е. 2\pi r
(рис. 2). Из уравнения \frac{2\pi l}{3}=2\pi r
находим, что \frac{r}{l}=\frac{1}{3}
. Следовательно,
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{1}{3}.
Тогда
\cos\alpha=1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot\frac{1}{9}=\frac{7}{9}.