8061. Три сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга и некоторой плоскости. Основание конуса расположено в этой плоскости. Все три сферы касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Найдите радиус основания конуса, если высота конуса равна 2.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Пусть O'_{1}
, O'_{2}
, O'_{3}
— ортогональные проекции центров O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
данных сфер на плоскость основания конуса, A
— вершина конуса, O
— центр основания конуса, r
— его радиус основания конуса (рис. 1). Точка O
— центр окружности, описанной около равностороннего треугольника O'_{1}O'_{2}O'_{3}
со стороной 2, поэтому OO'_{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}
.
Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку O_{1}
(рис. 2). Получим равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC=2r
, высотой AO=2
и окружность, касающуюся боковой стороны AC
в некоторой точке M
, а продолжения основания BC
за точку C
— в точке O'_{1}
. Пусть прямая, проходящая через точку A
, касается этой окружности в точке P
, не лежащей на AC
. Поскольку AO=PO'_{1}=2
, прямая AP
параллельна BC
. Обозначим \angle PAO_{1}=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{O_{1}P}{AP}=\frac{O_{1}P}{OO'_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\angle CAO_{1}=\angle PAO_{1}=\alpha,~\angle ACO=\angle CAP=2\alpha.
Следовательно,
r=OC=\frac{AO}{\tg\angle ACO}=\frac{2}{\tg2\alpha}=\frac{1-\tg^{2}\alpha}{\tg\alpha}=
=\frac{1-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.