8063. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
. Центры двух шаров радиуса r
, содержащихся внутри пирамиды, расположены на её высоте. Первый шар касается плоскости основания пирамиды, второй шар касается первого и плоскостей всех боковых граней пирамиды. Найдите высоту пирамиды.
Ответ. \frac{ar(\sqrt{a^{2}+32r^{2}}+3a)}{a^{2}-4r^{2}}
.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
; M
и N
— середины сторон соответственно AD
и BC
основания ABCD
. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P
, M
и N
, — равнобедренный треугольник PMN
, основание MN
которого равно стороне квадрата ABCD
, т. е. a
. Центры O_{1}
и O_{2}
касающихся окружностей радиуса r
расположены на высоте PQ
. Окружность с центром O_{1}
вписана в угол MPN
, а окружность с центром O_{2}
касается основания MN
в его середине Q
.
Пусть высота пирамиды равна x
, а окружность с центром O_{1}
касается PN
в точке F
. Из подобия прямоугольных треугольников PFO_{1}
и PQN
следует, что
\frac{PO_{1}}{PN}=\frac{O_{1}F}{QN},~\mbox{или}~\frac{x-3r}{\sqrt{x^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}=\frac{2r}{a}.
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
(a^{2}-4r^{2})x^{2}-6a^{2}rx+8a^{2}r^{2}=0,
откуда находим, что
x=\frac{3a+ar(\sqrt{a^{2}+32r^{2}})}{a^{2}-4r^{2}}~\mbox{или}~x=\frac{ar(3a-\sqrt{a^{2}+32r^{2}})}{a^{2}-4r^{2}}.
Из условия задачи следует, что a\gt2r
и x\gt4r
, а так как
\frac{ar(3a-\sqrt{a^{2}+32r^{2}})}{a^{2}-4r^{2}}\gt4r~\Leftrightarrow~3a^{2}-a\sqrt{a^{2}+32r^{2}}\gt4a^{2}-16r^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~16r^{2}-a^{2}\gt a\sqrt{a^{2}+32r^{2}}~\Leftrightarrow~256r^{4}-32a^{2}r^{2}+a^{4}\gt a^{4}+32a^{2}r^{2}~\Leftrightarrow~a\gt2r,
то второй корень отрицателен. Следовательно, высота пирамиды равна
\frac{3a+ar(\sqrt{a^{2}+32r^{2}})}{a^{2}-4r^{2}}.