8066. В цилиндр с радиусом основания \frac{3}{2}
, и высотой \frac{6}{\sqrt{2}+1}
, вписаны четыре одинаковых шара так, что они касаются верхнего основания цилиндра, его боковой поверхности и каждый из шаров касается двух из трёх других шаров. Найдите площадь боковой поверхности конуса, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра и который касается всех четырёх шаров.
Ответ. \frac{15\pi}{4}
.
Указание. Рассмотрите: 1) ортогональную проекцию шаров на плоскость основания цилиндра; 2) осевое сечение цилиндра, проходящее через центр одного из шаров.
Решение. Заметим, что
\frac{6}{\sqrt{2}+1}=6(\sqrt{2}-1)=6\sqrt{2}-6.
Пусть O'_{1}
, O'_{2}
, O'_{3}
, O'_{4}
— ортогональные проекции центров O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
шаров на плоскость нижнего основания цилиндра (рис. 2), O
— центр этого основания, r
— радиус шаров, S
— искомая боковая поверхность. Точка O
— центр окружности, описанной около квадрата O'_{1}O'_{2}O'_{3}O'_{4}
со стороной 2r
, поэтому OO'_{1}=r\sqrt{2}
, а так как радиус основания цилиндра равен \frac{3}{2}
, то r\sqrt{2}+r=\frac{3}{2}
, откуда
r=\frac{3}{2(\sqrt{2}+1)}=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{2}.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку O_{1}
(рис. 3). Получим прямоугольник ABCD
, равнобедренный треугольник BCE
с основанием BC=\frac{3}{2}
и высотой EO
(E
— вершина конуса) и окружность с центром O_{1}
и радиусом r=2\sqrt{3}-3
, касающуюся AB
, AD
и BE
в точках F
, G
и H
соответственно. Обозначим \angle O_{1}BF=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{O_{1}F}{BF}=\frac{O_{1}F}{AB-AF}=\frac{r}{AB-r}=
=\frac{3\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{2}}{6\sqrt{2}-6-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{2}}=\frac{3\sqrt{2}-3}{9\sqrt{2}-9}=\frac{1}{3}.
\angle BEO=\angle ABE=2\angle O_{1}BF=2\alpha,
\sin\angle BEO=\sin2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{2\cdot\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{3}{5},
BE=\frac{BO}{\sin\angle BEO}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\sin2\alpha}=\frac{5}{2}.
Следовательно,
S=\pi\cdot OB\cdot BE=\pi\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{4}\pi.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1974 (отделение геофизики), вариант 2, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 141