8068. Четыре шара радиусов 1, 1, 1 и 2 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус сферы, касающейся внутренним образом всех этих шаров.
Ответ. \frac{\sqrt{69}+7}{5}
.
Указание. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры шаров радиуса 1, O_{4}
— центр шара радиуса 2
, O
— центр искомой сферы. Рассмотрите правильную треугольную пирамиду O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
с основанием O_{1}O_{2}O_{3}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры шаров радиуса 1, O_{4}
— центр шара радиуса 2, O
— центр искомой сферы радиуса R
, касающейся внешним образом четырёх данных шаров. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
с основанием O_{1}O_{2}O_{3}
. Центр O
искомой сферы лежит на высоте O_{4}M
этой пирамиды. Обозначим OM=x
.
Пусть A
и B
— точки, в которых искомая сфера касается шаров с центрами O_{4}
и O_{1}
соответственно. Тогда OA=OB=R
. Далее находим:
O_{1}M=\frac{O_{1}O_{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},~O_{4}M=\sqrt{O_{1}O_{4}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{9-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{23}{3}}=\frac{\sqrt{69}}{3},
OO_{1}=\sqrt{O_{1}M^{2}+OM^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}+x^{2}},~OO_{4}=O_{4}M-OM=\frac{\sqrt{69}}{3}-x,
OA=OO_{4}+2=\frac{\sqrt{69}}{3}-x+2,~OB=OO_{1}+1=\sqrt{\frac{4}{3}+x^{2}}+1.
Из уравнения
\sqrt{\frac{69}{3}}-x+2=\sqrt{\frac{4}{3}+x^{2}}+1
находим, что x=\frac{2\sqrt{69}+9}{15}
. Следовательно,
R=OA=OO_{4}+2=\frac{\sqrt{69}}{3}-x+2=\frac{\sqrt{69}}{3}+2-\frac{2\sqrt{69}+9}{15}=\frac{\sqrt{69}+7}{5}.