8069. В треугольнике ABC
известно, что AC=12
, AB=BC=3\sqrt{10}
. Два шара касаются плоскости треугольника ABC
в точках A
и C
и расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние между центрами этих шаров равно 15. Центр третьего шара находится в точке B
, и этот шар внешним образом касается двух данных шаров. Найдите радиус третьего шара.
Ответ. 6.
Указание. Составьте систему трёх уравнений относительно радиусов шаров.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры шаров, касающихся плоскости треугольника ABC
в точках A
и C
соответственно, x
и y
— их радиусы, z
— радиус третьего шара. Через прямые O_{1}A
и O_{2}C
, перпендикулярные к плоскости ABC
, проведём плоскость. В этой плоскости из точки O_{2}
опустим перпендикуляр O_{2}P
на прямую O_{1}A
. В прямоугольном треугольнике O_{1}O_{2}P
известно, что
O_{1}O_{2}=15,~O_{1}P=O_{1}A+AP=O_{1}A+O_{2}C=x+y,~O_{2}P=AC=12.
По теореме Пифагора
(x+y)^{2}+144=225,
откуда x+y=9
.
Из прямоугольных треугольников ABO_{1}
и CBO_{2}
находим, что
(x+z)^{2}=x^{2}+90,~(y+z)^{2}=y^{2}+90,
откуда
z^{2}+2xz=90,~z^{2}+2yz=90.
Сложив почленно эти два уравнения, получим, что
2z^{2}+2z(x+y)=180,
а так как x+y=9
, то
z^{2}+9z-90=0,
откуда находим, что z=6
.