8073. На рёбрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нулевому вектору?
Ответ. Не может.
Решение. Воспользуемся следующим фактом. Ортогональная проекция суммы векторов на данную прямую равна сумме ортогональных проекций этих векторов на данную прямую.
Рассмотрим ортогональные проекции всех шести векторов, о которых говорится в условии задачи, на прямую, проходящую через вершину A
тетраэдра ABCD
перпендикулярно плоскости BCD
. Если сумма шести векторов была бы равна нулевому вектору, то сумма их указанных проекций также была бы равна нулевому вектору.
В то же время, три из шести векторов лежат в плоскости BCD
, значит, сумма их проекций равна нулевому вектору. Поэтому сумма остальных трёх проекций также равна нулевому вектору, что невозможно, так как эта сумма равна \pm\overrightarrow{AH}\pm\overrightarrow{AH}\pm\overrightarrow{AH}
, где AH
— высота тетраэдра.
Источник: Турнир городов. — 1985-1986, VII, весенний тур, старшие классы, основной вариант