8075. Точка K
расположена на ребре AD
тетраэдра ABCD
, точка N
— на продолжении ребра AB
за точку B
, а точка M
— на продолжении ребра AC
за точку C
, причём AK:KD=3:1
, BN=AB
и CM:AC=1:3
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K
, M
, N
. В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?
Ответ. 2:33
.
Указание. Найдите отношения, в которых плоскость KMN
делит рёбра DB
и DC
пирамиды ABCD
.
Решение. Пусть прямые CD
и KM
пересекаются в точке P
, а прямые BD
и KN
— в точке Q
(рис. 1). Рассмотрим плоскость грани ACD
(рис. 2). Через точку D
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть T
— точка пересечения этой прямой с продолжением KM
. Из подобия треугольников DKT
и AKM
находим, что
DT=AM\cdot\frac{DK}{AK}=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}AC=\frac{4}{9}AC.
Из подобия треугольников DPT
и CPM
следует, что
\frac{DP}{PC}=\frac{DT}{CM}=\frac{\frac{4}{9}AC}{\frac{1}{3}AC}=\frac{4}{3},
значит, \frac{DP}{DC}=\frac{4}{7}
.
Рассмотрим плоскость грани ABD
(рис. 3). Через точку D
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть F
— точка пересечения этой прямой с продолжением KN
. Из подобия треугольников DKF
и AKN
находим, что
DF=AN\cdot\frac{DK}{AK}=\frac{1}{3}AN=\frac{1}{3}\cdot2AB=\frac{2}{3}AB.
Из подобия треугольников DQF
и BQN
следует, что
\frac{DQ}{QB}=\frac{DF}{BN}=\frac{2}{3}\cdot\frac{AB}{AB}=\frac{2}{3},
значит, \frac{DQ}{DB}=\frac{2}{5}
. Поэтому
\frac{V_{KPQD}}{V_{ABCD}}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DP}{DC}\cdot\frac{DQ}{DB}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{35}.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы многогранников, на которые плоскость MNK
разбивает пирамиду ABCD
. Тогда \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{2}{33}
.