8083. Точки K
, M
и N
расположены соответственно на рёбрах BC
, AD
и CD
тетраэдра ABCD
, причём BK:KC=1:3
, AM:MD=3:1
и CN:ND=1:2
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K
, M
, N
. В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?
Ответ. 15:61
.
Указание. Найдите отношения, в которых плоскость KMN
делит ребро AB
пирамиды ABCD
и рассмотрите треугольные пирамиды DABK
и DACK
.
Решение. Обозначим BD=a
. Рассмотрим плоскость грани BCD
. Через точку C
проведём прямую l
, параллельную BD
. Пусть продолжение отрезка KN
пересекает прямую l
в точке T
, а прямую BD
— в точке E
. Обозначим BE=x
. Из подобия треугольников TNC
и END
находим, что
CT=DE\cdot\frac{CN}{ND}=\frac{1}{2}(a+x).
Из подобия треугольников TKC
и EKB
следует, что
CT=BE\cdot\frac{CK}{KB}=3x.
Из уравнения \frac{1}{2}(a+x)=3x
находим, что
BE=x=\frac{1}{5}a,~DE=DB+BE=a+\frac{1}{5}a=\frac{6}{5}a.
Рассмотрим плоскость грани ABD
. Через точку A
проведём прямую m
, параллельную BD
. Пусть прямая EM
пересекает прямую m
в точке G
, а ребро AB
— в точке Q
. Из подобия треугольников AMG
и DME
находим, что
AG=DE\cdot\frac{AM}{MD}=\frac{6}{5}a\cdot3=\frac{18}{5}a,
а из подобия треугольников AQG
и BQE
следует, что
\frac{AQ}{QB}=\frac{AG}{BE}=\frac{\frac{18a}{5}}{\frac{a}{5}}=18.
Плоскость ADK
делит объём V
данной пирамиды в отношении 1:3
, поэтому V_{DABK}=\frac{1}{4}V
и V_{DACK}=\frac{3}{4}V
. Секущая плоскость пересекает боковые рёбра AD
, AB
и AK
треугольной пирамиды DABK
в точках M
, Q
и K
, поэтому
V_{AMQK}=\frac{AM}{AD}\cdot\frac{AQ}{AB}\cdot\frac{AK}{AK}\cdot V_{DABN}=\frac{3}{4}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{4}V=\frac{27}{152}V.
Тогда объём многогранника DMQBK
равен \frac{1}{4}V-\frac{27}{152}V=\frac{11}{152}V
.
Секущая плоскость пересекает боковые рёбра DA
, DC
и DK
треугольной пирамиды DACK
в точках M
, N
и K
, поэтому
V_{DMKN}=\frac{DM}{DA}\cdot\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DK}{DK}\cdot V_{DACK}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{3}{4}V=\frac{1}{8}V.
Значит, объём многогранника DMQKN
равен
\frac{11}{152}V+\frac{1}{8}V=\frac{15}{76}V.
Тогда объём остальной части пирамиды ABCD
равен
V-\frac{15}{76}V=\frac{61}{76}V.
Следовательно, искомое отношение равно \frac{15}{61}
.