8087. Основание пирамиды PABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка K
— середина ребра CP
, точка M
расположена на ребре AB
, причём AM:MB=1:2
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K
и M
параллельно прямой BD
. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
Ответ. 109:143
.
Указание. Найдите отношения, в которых секущая плоскость делит боковые рёбра PB
и DP
.
Решение. Плоскость основания ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно BD
. Пусть L
— точка пересечения прямой l
со стороной AD
параллелограмма ABCD
. Тогда \frac{AL}{LD}=\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}
.
Пусть F
и E
— точки пересечения прямой l
с продолжениями BC
и CD
соответственно. Обозначим BC=AD=a
. Из подобия треугольников BMF
и AML
находим, что
BF=AL\cdot\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}a\cdot2=\frac{2}{3}a,~CF=BC+BF=a+\frac{2}{3}a=\frac{5}{3}a.
Плоскости граней BPC
и APD
проходят через параллельные прямые BC
и AD
и имеют общую точку P
. Значит, они пересекаются по некоторой прямой m
, параллельной прямым BC
и AD
.
Рассмотрим плоскость грани BPC
. Пусть прямая FK
пересекает ребро PB
в точке N
, а прямую m
— в точке T
. Из равенства треугольников PKT
и CKF
находим, что
PT=CF=\frac{5}{3}a,
а из подобия треугольников PNT
и BNF
следует, что
\frac{PN}{NB}=\frac{PT}{BF}=\frac{\frac{5}{3}a}{\frac{2}{3}a}=\frac{5}{2}.
Если Q
— точка пересечения прямой EK
с ребром DP
, то аналогично докажем, что \frac{PQ}{QD}=\frac{5}{2}
.
Пусть h
— высота данной пирамиды, S
— площадь её основания, V
— объём. Тогда высота треугольной пирамиды KCFE
с вершиной M
равна \frac{1}{2}h
, а высоты треугольных пирамид NBFM
и QDEL
с вершинами N
и Q
равны \frac{2}{7}h
. Далее имеем:
S_{\triangle AML}=\frac{1}{9}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{18}S,
S_{\triangle DEL}=S_{\triangle BFM}=4S_{\triangle AML}=\frac{2}{9}S,
S_{\triangle CFE}=S_{ABCD}-S_{\triangle AML}+2S_{\triangle BFM}=S-\frac{1}{18}S8+\frac{4}{9}S=\frac{25}{18}S.
Значит,
V_{KCFE}=\frac{1}{3}S_{\triangle CFE}\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{25}{18}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{25}{36}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{25}{36}V,
V_{NBFM}=\frac{1}{3}S_{\triangle BFM}\cdot\frac{2}{7}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{9}S\cdot\frac{2}{7}h=\frac{4}{63}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{4}{63}V,
V_{CBMLDQKN}=V_{KCFE}-2V_{NBFM}=\frac{25}{36}V-\frac{8}{63}V=\frac{143}{252}V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём данной пирамиды в отношении 109:143
.