8093. Теорема о площади ортогональной проекции. Докажите, что площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью проекций и плоскостью проектируемого многоугольника.
Решение. Предположим, что сторона AB
треугольника ABC
лежит на плоскости проекций (рис. 1). Тогда, если C'
— ортогональная проекция вершины C
, то треугольник ABC'
— ортогональная проекция треугольника ABC
на эту плоскость.
Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что C'H
— высота треугольника ABC'
. Значит, CHC'
— линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника ABC
и плоскостью проекций. Если этот угол равен \varphi
, то C'H=CH\cos\varphi
. Следовательно, если S
— площадь треугольника ABC
, а S'
— площадь треугольника ABC'
, то
S'=\frac{1}{2}AB\cdot C'H=\frac{1}{2}AB\cdot CH\cos\varphi=S\cos\varphi.
Ясно, что доказанное утверждение остаётся верным, если одна из сторон треугольника параллельна плоскости проекций.
Пусть ни одна из сторон треугольника не лежит на плоскости проекций и не параллельна ей. Через каждую вершину треугольника проведём плоскость, параллельную плоскости проекций. Одна из этих плоскостей разобьёт треугольник на два треугольника, для каждого из которых доказываемое утверждение верно (рис. 2). Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади этих треугольников, S_{1}'
и S_{2}'
— площади их проекций. Тогда
S'=S_{1}'+S_{2}'=S_{1}\cos\varphi+S_{2}\cos\varphi=(S_{1}+S_{2})\cos\varphi=S\cos\varphi.
Рассмотрим произвольный плоский многоугольник с площадью S
. Разобьём его на треугольники. Пусть S_{1}
, S_{2}
, …, S_{k}
— их площади, а S_{1}'
, S_{2}'
, …, S_{k}'
соответственно — площади их проекций. Тогда, если S'
— площадь ортогональной проекции многоугольника, то
S'=S_{1}'+S_{2}'+\dots+S_{k}'=S_{1}\cos\varphi+S_{2}\cos\varphi+\dots+S_{k}\cos\varphi=
=(S_{1}+S_{2}+\dots+S_{k})\cos\varphi=S\cos\varphi.
Что и требовалось доказать.