8095. Плоскости диагональных сечений пирамиды, основанием которой является параллелограмм, взаимно перпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов площадей противоположных боковых граней равны между собой.
Решение. Пусть основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
с центром O
, \alpha
— угол между полуплоскостями ASC
и ABC
, \beta
— угол между полуплоскостями BSD
и ABD
, а 4s
, 2p
и 2q
— площади параллелограмма ABCD
и треугольников ASC
и BSD
соответственно. Применяя теорему косинусов для тетраэдра к тетраэдрам OASB
, OCSD
, OBSC
и OASD
и учитывая перпендикулярность плоскостей треугольников ASC
и BSD
получим равенства
S^{2}_{\triangle ASB}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos\alpha-2sq\cos\beta,
S^{2}_{\triangle CSD}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos(180^{\circ}-\alpha)-2sq\cos(180^{\circ}-\beta),
S^{2}_{\triangle BSC}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos\alpha-2sq\cos(180^{\circ}-\beta),
S^{2}_{\triangle ASD}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos(180^{\circ}-\alpha)-2sq\cos\beta.
Поэтому
S^{2}_{\triangle ASB}+S^{2}_{\triangle CSD}=2(s^{2}+p^{2}+q^{2}),~S^{2}_{\triangle BSC}+S^{2}_{\triangle ASD}=2(s^{2}+p^{2}+q^{2}).
Следовательно,
S^{2}_{\triangle ASB}+S^{2}_{\triangle CSD}=S^{2}_{\triangle BSC}+S^{2}_{\triangle ASD}.