8096. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит параллелограмм ABCD
. Известно, что плоскости треугольников ASC
и BSD
перпендикулярны друг другу. Найдите площадь грани ASD
, если площади граней ASB
, BSC
и CSD
равны соответственно 5, 6 и 7.
Ответ. \sqrt{38}
.
Указание. Примените теорему косинусов для тетраэдра (см. задачу 8094) к тетраэдрам OASB
, OCSD
, OBSC
и OASD
.
Решение. Пусть \alpha
— угол между полуплоскостями ASC
и ABC
, \beta
— угол между полуплоскостями BSD
и ABD
, а 4s
, 2p
и 2q
— площади параллелограмма ABCD
и треугольников ASC
и BSD
соответственно, O
— центр параллелограмма ABCD
. Применяя теорему косинусов для тетраэдра к тетраэдрам OASB
, OCSD
, OBSC
и OASD
(см. задачу 8094) и учитывая перпендикулярность плоскостей треугольников ASC
и BSD
, получим равенства
S^{2}_{\triangle ASB}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos\alpha-2sq\cos\beta,
S^{2}_{\triangle CSD}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos(180^{\circ}-\alpha)-2sq\cos(180^{\circ}-\beta),
S^{2}_{\triangle BSC}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos\alpha-2sq\cos(180^{\circ}-\beta),
S^{2}_{\triangle ASD}=s^{2}+p^{2}+q^{2}-2sp\cos(180^{\circ}-\alpha)-2sq\cos\beta.
Поэтому
S^{2}_{\triangle ASB}+S^{2}_{\triangle CSD}=2(s^{2}+p^{2}+q^{2}),~S^{2}_{\triangle BSC}+S^{2}_{\triangle ASD}=2(s^{2}+p^{2}+q^{2}).
Следовательно,
S^{2}_{\triangle ASB}+S^{2}_{\triangle CSD}=S^{2}_{\triangle BSC}+S^{2}_{\triangle ASD}.
Отсюда находим, что
S^{2}_{\triangle ASD}=S^{2}_{\triangle ASB}+S^{2}_{\triangle CSD}-S^{2}_{\triangle BSC}=25+49-36=38.