8098. Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольник со сторонами AB=a
и AD=b
. Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX
по лучу AB
, ось OY
— по лучу AC
, а ось OZ
по лучу с началом в точке A
и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть M(x;y;z)
— произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин A(0;0;0)
, B(a;0;0)
, C(a;b;0)
и D(0;b;0)
:
MA^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
MB^{2}=(x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2},
MC^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-0)^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2},
MD^{2}=(x-0)^{2}+(y-b)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}.
Следовательно,
MA^{2}+MC^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\left((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}\right)=
=\left((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\left(x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}\right)=MB^{2}+MD^{2}.
Что и требовалось доказать.